DERIVADAS. APLICACIONES. OPTIMIZACIÓN
Análisis
 
7. APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA, BIOLOGÍA Y OTRAS CIENCIAS

  • Si e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces v=f '(t) nos da la velocidad de ese móvil en cada instante.

  • Si v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entoces a=g'(t) nos da su aceleración.

  • En general, si f(t) da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t) da la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo.

EJERCICIOS
7.- Volvamos al ejemplo del autobús del inicio de esta unidad

Ahora sabemos más y podemos resolver mejor el problema.

Ecuaciones de movimiento del:

Autobús

y = (4/225) t2

Viajero turquesa

y = 0.535 t -3.745

Viajero verde

y = 0.8 t -8

Viajero azul

y = (10/529) t2 - (10/23) t + 9.5

Viajero naranja

y = 9.6

Donde y es el espacio (una unidad en la escena, corresponde a 10m) y t el tiempo en segundos.

El punto (0,0) corresponde a la parada del autobús en el instante en que arranca.

Aumentando paulatinamente el valor del parámetro tiempo en la escena se puede ver la posición del autobús y de cada pasajero en cada instante.

a) ¿En qué instante llegan a la parada los viajeros turquesa y verde?

b) ¿A qué distancia se encuentran de la parada los viajeros azul y naranja, cuando arranca el autobús de la parada?

c) ¿En qué instante y a qué distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobús?

d) Calcule la velocidad tanto del autobús, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada función espacio

e) Deduzca qué viajero alcanza el autobús "suavemente" y cuál no.

Solución

8.- Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, expresado en minutos, según la ecuación N=500+50t-t2 para tÎ[0,35]

¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t=7 min?
Hallando la derivada de la función N(t), N'(t) es la velocidad de crecimiento de la población en cualquier instante t.

Hallando N'(7) podremos responder a la pregunta.

Realice los cálculos en su cuaderno.

 
En esta escena está representada la función N(t) cuando s=0. Si s=1 se dibuja la función derivada N'(t). Cambiando el valor de t se puede averiguar la velocidad de crecimiento en cada instante.

9.- Un cochecito teledirigido se mueve según la ecuación d=0.2t2+0.03t3, tÎ[0,20] (d en metros y t en segundos)

a) Halle su velocidad en los instantes 2s, 8s, 15s, 20s.

b) ¿En qué instante su velocidad es de 13 m/s?

Hallando la derivada de la función d(t), d'(t) es la velocidad del cochecito en cualquier instante t.

Hallando d'(2) podremos hallar la velocidad en el instante 2s, y así sucesivamente.

Realice los cálculos en tu cuaderno.

 
En esta escena está representada la función d(t) cuando s=0. Si s=1 se dibuja la función derivada d'(t). Cambiando el valor de t se puede averiguar la velocidad del cochecito en cada instante.
  Índice de la unidad   Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones   Problemas de optimización (I)  
           
  Alberto Ojeda O.
   
© Inem Santiago Pérez. Año 2009
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